Bayes Teoremi

Merhaba bu yazımda sizlere Bayes Teoremini hakkında genel bilgi verip birkaç örnek ile sizlere göstermek istiyorum. Bir olayı meydana getiren bir veya daha fazla neden bulunabilir. Çeşitli nedenlerin aynı aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde, bunun hangi sebepten dolayı meydana geldiği bilinemeyebilir. Kısacası Bayes Teoremi bir sonucun sebebini bulurken sonucun hangi sebepten kaynaklandığını bulmaya yardımcı olur.

Elimizde A ve B olayı olmak üzere iki farklı olay, durum bulunsun ve B olayının olma olasılığı biliniyor olsun. Yani B olasılığı biliniyorken A olayının olma olasılığını bulmak için elde edeceğimiz Bayes formülü;

ile ifade edilir. Bir başka ifade edilme şekli de;

Olurda formülü unutursak küçük bir ispatla formülü elde etmek mümkün;

(**) ifadesinden P(A ∩ B) ifadesi yalnız bırakırsa;

elde ederiz.(*) denkleminde P(A ∩ B) ifadesi yerine elde ettiğimiz değeri yazarsak;

Bayes formülünü elde etmiş olacağız.

Örneklerimize bakacak olursak;

Bir okuldaki erkeklerin %60'ı futbol ve %36'sı basketbol oynamaktadır. Futbol oynayanların %40'ı aynı zamanda basketbol da oynamaktadır. Bizden istenen basketbol oynadığı bilinenlerin yüzde kaçı futbol oynadığı olsun. Öncelikle elimizdeki verileri düzenli bir şekilde ifade edelim;

• P(Futbol) = 0,60
• P(Basketbol) = 0,36
• P(Basketbol | Futbol) = 0,40
• P(Futbol | Basketbol) = ?

Sırayla formülümüze uygulayacak olursak;

%66,6 sonucu elde edilir. Yani basketbol oynadığı bilinenlerin yüzde %66,6'sı futbol oynamaktadır.

Bir başka örneğimizi de görülmesi ve çözülmesi daha kolay olan şema çizerek göstermeye çalışalım. Örneğin;

Bir araştırmaya göre her 100 çocuktan 1 tanesi ender görülen bir X hastalığına yakalanmaktadır. X hastalığının tespitinde kullanılan testler tam güvenilir sonuçlar üretememektedir. Hasta kişilerde bu testin sonucu %80 pozitif çıkarken hasta olmayan kişilerde de bu testin sonucu %10 pozitif çıkmaktadır.

Buna göre test sonucu pozitif olan bir çocuğun gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

Elimizdeki tüm verileri bir şemaya dökecek olursak elde edeceğimiz şema;

Sonucumuzu bireyin gerçekten hasta olma olasılığının, test sonucunun pozitif çıkma oranına bölerek elde edebiliriz;

Bireyin gerçekten hasta olma olasılığı = 0,01 * 0,80 = 0,008

Bireyin test sonucunun pozitif çıkma olasılığı = 0,1 * 0,80 + 0,99 * 0,10 = 0,107

Buna göre bizden istenen test sonucu pozitif olan bir çocuğun gerçekten hasta olma olasılığı ; 0,008 / 0,107 = 0,0748 elde edilir.

Vaktinizi ayırdığınız için teşekkür ederim